4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2 : 7, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 110 см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = BC \) — боковые стороны, \( AC \) — основание. Пусть \( O \) — центр вписанной окружности, а \( K \) — точка касания на боковой стороне \( AB \).

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении 2:7, считая от вершины угла при основании. Это означает, что вершина угла при основании — \( C \). Таким образом, отношение \( CK : KA = 2 : 7 \) или \( BK : KC = 2 : 7 \) (от вершины угла при основании). Предположим, что точка касания \( K \) делит боковую сторону \( AB \) так, что \( BK : KA = 7 : 2 \) (ближе к вершине \( B \) — углу при основании).

Пусть \( BK = 7x \) и \( KA = 2x \). Тогда боковая сторона \( AB = BC = 7x + 2x = 9x \).

Пусть \( P \) — точка касания на основании \( AC \). Тогда \( AP = AK = 2x \) и \( CP = CK \).

Отношение от вершины угла при основании \( C \) может быть интерпретировано как отношение сегментов, отсекаемых касательной от вершины \( C \) к точке касания. Точки касания на боковых сторонах и основании в сумме составляют периметр.

Пусть \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.

Пусть \( x \) — длина отрезка от вершины угла при основании до точки касания боковой стороны. Тогда \( 7x \) — длина другого отрезка боковой стороны. \( a = 7x \). \( x \) — это отрезок от вершины угла при основании до точки касания.

По теореме о касательных, отрезки от вершины до точек касания равны. Пусть \( C \) — вершина при основании. Пусть \( K \) — точка касания на \( AB \), \( L \) — точка касания на \( BC \), \( M \) — точка касания на \( AC \).

Если считать от вершины угла при основании \( C \), то \( CL = CM = 2x \) и \( BL = BM = 7x \).

Тогда боковая сторона \( BC = CL + LB = 2x + 7x = 9x \).

Основание \( AC = AM + MC \). Из того, что \( AM = AL \), следует \( AC = 7x + 2x = 9x \).

Это означает, что треугольник равносторонний, что противоречит условию, так как боковая сторона делится в отношении 2:7. Проверим интерпретацию.

«считая от вершины угла при основании» означает, что ближайший к этой вершине отрезок равен 2 частям, а другой — 7 частям.

Пусть \( A \) и \( C \) — вершины при основании, \( B \) — вершина напротив основания. Углы при основании \( \angle A = \angle C \).

Пусть \( K \) — точка касания на \( AB \), \( L \) — на \( BC \), \( M \) — на \( AC \).

Если считать от \( A \) (вершины угла при основании), то \( AK = 2x \) и \( KB = 7x \). Тогда \( AB = 9x \).

Так как \( AK = AM \) и \( KB = BL \), то \( AM = 2x \) и \( BL = 7x \).

\( AB = 9x \). \( BC = BL + LC \). \( AC = AM + MC \).

\( AB = BC \) (равнобедренный).

\( AM = 2x \).

\( KB = 7x \).

\( AK = AM = 2x \).

\( KB = BL = 7x \).

\( LC = MC \).

\( AB = 9x \). \( BC = BL + LC = 7x + LC \).

\( AC = AM + MC = 2x + MC \).

Поскольку \( AB = BC \), то \( 9x = 7x + LC \), откуда \( LC = 2x \).

Тогда \( MC = LC = 2x \).

Основание \( AC = AM + MC = 2x + 2x = 4x \).

Стороны треугольника: \( AB = 9x \), \( BC = 9x \), \( AC = 4x \).

Периметр \( P = AB + BC + AC = 9x + 9x + 4x = 22x \).

По условию, \( P = 110 \) см.

\( 22x = 110 \)

\( x = \frac{110}{22} = 5 \) см.

Найдем длины сторон:

Боковая сторона \( a = 9x = 9 \cdot 5 = 45 \) см.

Основание \( b = 4x = 4 \cdot 5 = 20 \) см.

Проверка: \( 45 + 45 + 20 = 110 \) см. Это соответствует условию.

Ответ: стороны треугольника равны 45 см, 45 см и 20 см.