5. На рисунке хорда МК пересекает диаметр AB в точке F. ∠MPF = ∠KTF = 90°, ∠MFP = 30°, MK = 22 см. Найдите сумму длин отрезков МР и КТ.

Решение:

Нам дан рисунок с окружностью, диаметром AB и хордой MK, пересекающимися в точке F. Известно, что ∠MPF = ∠KTF = 90°, что означает, что MP и KT являются высотами в треугольниках MFP и KTF соответственно.

Дано:

• ∠MFP = 30°
• MK = 22 см
• ∠MPF = 90°
• ∠KTF = 90°

Рассмотрим прямоугольный треугольник MFP:

• Гипотенуза MF.
• Катет MP (противолежащий углу MFP).
• Катет FP (прилежащий к углу MFP).
• sin(30°) = MP / MF
• cos(30°) = FP / MF
• MP = MF * sin(30°) = MF * 0.5
• FP = MF * cos(30°) = MF * (√3 / 2)

Рассмотрим прямоугольный треугольник KTF:

• Гипотенуза KF.
• Катет KT (противолежащий углу KFT).
• Катет FT (прилежащий к углу KFT).
• Углы MFP и KFT являются вертикальными, поэтому ∠KFT = ∠MFP = 30°.
• sin(30°) = KT / KF
• cos(30°) = FT / KF
• KT = KF * sin(30°) = KF * 0.5
• FT = KF * cos(30°) = KF * (√3 / 2)

Мы знаем, что MK = MF + FK = 22 см.

Нам нужно найти сумму MP + KT.

• MP + KT = (MF * 0.5) + (KF * 0.5)
• MP + KT = 0.5 * (MF + KF)
• MP + KT = 0.5 * MK
• MP + KT = 0.5 * 22 см
• MP + KT = 11 см

Ответ: 11 см