5. На рисунке изображена развертка правильной пирамиды. Диагональ квадрата ABCD равна 4 см, высота треугольника BPC, опущенная из вершины P, равна 3√3 см. Найдите длину отрезка, соединяющего вершину данной пирамиды с центром основания.

Пусть O — центр квадратного основания, а H — середина BC. Высота треугольника BPC — это апофема пирамиды: PH = 3√3 см. В прямоугольном треугольнике POH отрезок OH равен половине стороны квадрата.

1. Сторона квадрата по диагонали: a = 4/√2 = 2√2 см. Поэтому OH = a/2 = √2 см.
2. По теореме Пифагора: PO² = PH² − OH² = (3√3)² − (√2)² = 27 − 2 = 25.
3. Так как длина положительна, PO = 5 см.

Ответ: 5 см.