5. На сторонах BC и BA параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и K так, что BM : MC = 4 : 3, BK : KA = 1 : 3. Выразите вектор \(\overrightarrow{MK}\) через векторы \(\overrightarrow{DA}=\vec a\), \(\overrightarrow{DC}=\vec b\).

Положим начало отсчёта в точке D. Тогда \(A=\vec a\), \(C=\vec b\), а из свойств параллелограмма \(B=\vec a+\vec b\).

Точка M делит BC в отношении 4:3, поэтому \(\overrightarrow{BM}=\frac47\overrightarrow{BC}=-\frac47\vec a\). Следовательно, \(M=\frac37\vec a+\vec b\).

Точка K делит BA в отношении 1:3, поэтому \(\overrightarrow{BK}=\frac14\overrightarrow{BA}=-\frac14\vec b\). Значит, \(K=\vec a+\frac34\vec b\).

Тогда \(\overrightarrow{MK}=K-M=(\vec a+\frac34\vec b)-(\frac37\vec a+\vec b)=\frac47\vec a-\frac14\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=\frac47\vec a-\frac14\vec b\).