5. На все арифметические операции: Упростить выражение: $$(\frac{1}{3}a^2b + a^2b)^4 \cdot (\frac{3}{4}ab^2)^3 - \frac{4}{27}a^{12}b^{10} \div \frac{2}{5}a^4b^2$$

Решение:

Упростим выражение по действиям:

1. Первое слагаемое:
• Сложим выражения в первой скобке: \( \frac{1}{3}a^2b + a^2b = a^2b(\frac{1}{3} + 1) = a^2b(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}) = \frac{4}{3}a^2b \).
• Возведём результат в четвёртую степень: \( (\frac{4}{3}a^2b)^4 = (\frac{4}{3})^4 (a^2)^4 b^4 = \frac{256}{81}a^8b^4 \).
• Возведём выражение во второй скобке в третью степень: \( (\frac{3}{4}ab^2)^3 = (\frac{3}{4})^3 a^3 (b^2)^3 = \frac{27}{64}a^3b^6 \).
• Перемножим полученные результаты: \( \frac{256}{81}a^8b^4 \cdot \frac{27}{64}a^3b^6 \).
• Перемножим коэффициенты: \( \frac{256}{81} \cdot \frac{27}{64} = \frac{256 \cdot 27}{81 \cdot 64} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3} \).
• Сложим степени с одинаковыми основаниями: \( a^8 \cdot a^3 = a^{8+3} = a^{11} \) и \( b^4 \cdot b^6 = b^{4+6} = b^{10} \).
• Первое слагаемое равно: \( \frac{4}{3}a^{11}b^{10} \).
2. Второе слагаемое:
• Выполним деление: \( \frac{4}{27}a^{12}b^{10} \div \frac{2}{5}a^4b^2 = \frac{4a^{12}b^{10}}{27} \cdot \frac{5}{2a^4b^2} \).
• Перемножим коэффициенты: \( \frac{4}{27} \cdot \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 5}{27 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 5}{27 \cdot 1} = \frac{10}{27} \).
• Разделим степени с одинаковыми основаниями: \( \frac{a^{12}}{a^4} = a^{12-4} = a^8 \) и \( \frac{b^{10}}{b^2} = b^{10-2} = b^8 \).
• Второе слагаемое равно: \( \frac{10}{27}a^8b^8 \).
3. Вычтем второе слагаемое из первого:
• \( \frac{4}{3}a^{11}b^{10} - \frac{10}{27}a^8b^8 \).

Ответ: $$\frac{4}{3}a^{11}b^{10} - \frac{10}{27}a^8b^8$$