5. Начертите любой треугольник. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, вписанную в данный треугольник и описанную около данного треугольника.

Задание 5. Построение вписанной и описанной окружностей

1. Построение вписанной окружности (центр — точка пересечения биссектрис)

1. Начертите произвольный треугольник (например, ABC).
2. Постройте биссектрисы двух углов треугольника (например, углов A и B). Для этого:
   • Поставьте иглу циркуля в вершину угла (A), проведите дугу, пересекающую стороны угла (AB и AC).
   • Из точек пересечения проведите две дуги внутри угла, которые пересекутся.
   • Соедините вершину угла (A) с точкой пересечения дуг. Это биссектриса угла A.
   • Повторите то же самое для угла B.
3. Найдите точку пересечения биссектрис (обозначим ее I). Эта точка является центром вписанной окружности.
4. Проведите перпендикуляр из центра I к одной из сторон треугольника (например, к стороне AB). Для этого:
   • Поставьте иглу циркуля в точку I, проведите дугу, пересекающую стороны AB и AC (если перпендикуляр к AB, то дуга должна пересекать AB и BC).
   • Из точек пересечения проведите две дуги, которые пересекутся.
   • Соедините центр I с точкой пересечения дуг. Линия пересечения будет перпендикулярна стороне AB.
5. Измерьте расстояние от центра I до стороны (это будет радиус вписанной окружности).
6. Проведите окружность с центром I и найденным радиусом. Эта окружность будет касаться всех трех сторон треугольника.

2. Построение описанной окружности (центр — точка пересечения серединных перпендикуляров)

1. Начертите тот же произвольный треугольник (ABC).
2. Постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника (например, к сторонам AB и BC). Для этого:
   • Для стороны AB: поставьте иглу циркуля в точку A, откройте циркуль на расстоянии больше половины AB, проведите дугу. Поставьте иглу в точку B, проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Соедините точки пересечения дуг — это серединный перпендикуляр к AB.
   • Повторите то же самое для стороны BC.
3. Найдите точку пересечения серединных перпендикуляров (обозначим ее O). Эта точка является центром описанной окружности.
4. Проведите окружность с центром O. Эта окружность пройдет через все три вершины треугольника (A, B, C).

Ключевые моменты:

• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.
• Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров.

Пример построенного треугольника с обеими окружностями:

Итог: Построены две окружности, связанные с треугольником: вписанная (касается сторон) и описанная (проходит через вершины).