5. Найдите AB. На рисунке AC и CD лежат на одной прямой, ∠ACB = 90°, DB = 10, CB = 6; AB — касательная к окружности в точке B.

Так как ∠DCB = 90°, треугольник DCB прямоугольный, а DB — гипотенуза.

По теореме Пифагора: \(CD^2 = DB^2 - CB^2 = 10^2 - 6^2 = 64\), поэтому \(CD = 8\).

Пусть \(AC = x\). Тогда \(AD = AC + CD = x + 8\). По теореме о касательной и секущей \(AB^2 = AC \cdot AD = x(x+8)\).

Поскольку ∠ACB = 90°, по теореме Пифагора в треугольнике ACB также \(AB^2 = x^2 + 6^2\). Приравниваем выражения: \(x^2 + 36 = x(x+8)\), откуда \(x = 4.5\). Следовательно, \(AB^2 = 4.5^2 + 36 = 56.25\), значит \(AB = 7.5\).

Ответ: \(AB=7.5\).

Примечание: касательная в точке B принята по схематическому рисунку; в тексте задания это свойство явно не указано.