5. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами M(2; 4), N(3; 1), K(-1; 2).

Для нахождения косинусов углов треугольника нам необходимо найти векторы, образующие стороны треугольника, а затем использовать скалярное произведение и длины сторон для нахождения косинусов. Сначала найдем векторы сторон треугольника: 1. Вектор MN: $$ MN = N - M = (3 - 2, 1 - 4) = (1, -3) $$ 2. Вектор MK: $$ MK = K - M = (-1 - 2, 2 - 4) = (-3, -2) $$ 3. Вектор NK: $$ NK = K - N = (-1 - 3, 2 - 1) = (-4, 1) $$ Далее найдем длины этих векторов: 1. Длина вектора MN: $$ |MN| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $$ 2. Длина вектора MK: $$ |MK| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} $$ 3. Длина вектора NK: $$ |NK| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} $$ Теперь найдем косинусы углов: 1. Косинус угла M (между векторами MN и MK): $$ \cos(M) = \frac{MN \cdot MK}{|MN| \cdot |MK|} = \frac{1*(-3) + (-3)*(-2)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{13}} = \frac{-3 + 6}{\sqrt{130}} = \frac{3}{\sqrt{130}} $$ 2. Косинус угла N (между векторами NM (-1, 3) и NK): $$ \cos(N) = \frac{NM \cdot NK}{|NM| \cdot |NK|} = \frac{(-1)*(-4) + 3*1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{17}} = \frac{4 + 3}{\sqrt{170}} = \frac{7}{\sqrt{170}} $$ 3. Косинус угла K (между векторами KM (3, 2) и KN (4, -1)): $$ \cos(K) = \frac{KM \cdot KN}{|KM| \cdot |KN|} = \frac{3*4 + 2*(-1)}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{12 - 2}{\sqrt{221}} = \frac{10}{\sqrt{221}} $$ **Ответ:** \( \cos(M) = \frac{3}{\sqrt{130}} \), \( \cos(N) = \frac{7}{\sqrt{170}} \), \( \cos(K) = \frac{10}{\sqrt{221}} \)