5. Найдите наибольшее значение функции y = 3x² - 6x + 4 на отрезке [1;4].

Решение:

1. Находим производную функции:

\[ y' = (3x^2 - 6x + 4)' = 6x - 6 \]

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6x - 6 = 0 \]

\[ 6x = 6 \]

\[ x = 1 \]

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка отрезку [1;4]. Точка \( x = 1 \) принадлежит отрезку.

4. Находим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При \( x = 1 \): \( y(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 \)
• При \( x = 4 \): \( y(4) = 3(4)^2 - 6(4) + 4 = 3(16) - 24 + 4 = 48 - 24 + 4 = 28 \)

5. Сравниваем полученные значения. Наибольшее значение функции на отрезке — 28.

Ответ: 28.