7. Решите уравнение: log₂(−x² − 8x) = 4.

Решение:

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

\[ -x^2 - 8x > 0 \]

\[ x^2 + 8x < 0 \]

\[ x(x + 8) < 0 \]

Это неравенство выполняется при \( -8 < x < 0 \).

2. Перейдем от логарифмического уравнения к степенному, используя определение логарифма \( \log_a b = c \iff a^c = b \):

\[ -x^2 - 8x = 2^4 \]

\[ -x^2 - 8x = 16 \]

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ -x^2 - 8x - 16 = 0 \]

\[ x^2 + 8x + 16 = 0 \]

4. Решим квадратное уравнение. Это полный квадрат:

\[ (x + 4)^2 = 0 \]

5. Найдем корень уравнения:

\[ x + 4 = 0 \]

\[ x = -4 \]

6. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ \( -8 < x < 0 \). Значение \( x = -4 \) входит в этот интервал.

Ответ: \( x = -4 \).