№5. Найдите неизвестный член пропорции: 5 / (2x + 3,2) = 5x + 6 / 6

Решение:

Дана пропорция: \( \frac{5}{2x + 3,2} = \frac{5x + 6}{6} \).

1. По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов: \( 5 \cdot 6 = (5x + 6)(2x + 3,2) \).
2. \( 30 = (5x + 6)(2x + 3,2) \).
3. Раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов: \( 30 = 5x \cdot 2x + 5x \cdot 3,2 + 6 \cdot 2x + 6 \cdot 3,2 \).
4. \( 30 = 10x^2 + 16x + 12x + 19,2 \).
5. Приведем подобные слагаемые: \( 30 = 10x^2 + 28x + 19,2 \).
6. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 10x^2 + 28x + 19,2 - 30 = 0 \).
7. \( 10x^2 + 28x - 10,8 = 0 \).
8. Чтобы упростить уравнение, разделим все члены на 2: \( 5x^2 + 14x - 5,4 = 0 \).
9. Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \): \( D = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5,4) \).
10. \( D = 196 + 20 \cdot 5,4 \).
11. \( 20 \cdot 5,4 = 20 \cdot \frac{54}{10} = 2 \cdot 54 = 108 \).
12. \( D = 196 + 108 = 304 \).
13. Найдем корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
14. \( x_1 = \frac{-14 + \sqrt{304}}{2 \cdot 5} = \frac{-14 + \sqrt{304}}{10} \).
15. \( x_2 = \frac{-14 - \sqrt{304}}{2 \cdot 5} = \frac{-14 - \sqrt{304}}{10} \).
16. \( \sqrt{304} = \sqrt{16 \cdot 19} = 4\sqrt{19} \).
17. \( x_1 = \frac{-14 + 4\sqrt{19}}{10} = \frac{-7 + 2\sqrt{19}}{5} \).
18. \( x_2 = \frac{-14 - 4\sqrt{19}}{10} = \frac{-7 - 2\sqrt{19}}{5} \).
19. Так как в задании не указано, что \( x \) должно быть целым числом, оставляем корни в таком виде.

Ответ: \( x_1 = \frac{-7 + 2\sqrt{19}}{5}, x_2 = \frac{-7 - 2\sqrt{19}}{5} \)