5. Найдите область определения выражения \(\sqrt{5x^2+2x-3}\).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(5x^2+2x-3\ge 0\).

Найдём корни квадратного трёхчлена: \(D=2^2-4\cdot5\cdot(-3)=64\), поэтому \(x_1=-1\), \(x_2=\frac{3}{5}\).

Коэффициент при \(x^2\) положительный, значит трёхчлен неотрицателен вне промежутка между корнями, включая сами корни.

Ответ: \(D=(-\infty;-1]\cup[\frac{3}{5};+\infty)\).