5. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что он равнобедренный с основанием $AC$ и при пересечении биссектрис углов $B$ и $C$ образовались углы, один из которых равен $78^\circ$.

Question

5. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что он равнобедренный с основанием $AC$ и при пересечении биссектрис углов $B$ и $C$ образовались углы, один из которых равен $78^\circ$.

$Фото задания: 5. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что он равнобедренный с основанием $AC$ и при пересечении биссектрис…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как треугольник равнобедренный с основанием $AC$, то $\angle A=\angle C=\alpha$, а $\angle B=180^\circ-2\alpha$.

Биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в центре вписанной окружности $I$. В треугольнике $BIC$ угол при вершине $I$ равен $90^\circ+\frac{\angle A}{2}$, то есть тупой угол равен $90^\circ+\frac\alpha2$, а каждый из смежных с ним углов равен $90^\circ-\frac\alpha2$.

Если один из образовавшихся углов равен $78^\circ$, то $90^\circ-\frac\alpha2=78^\circ$. Отсюда $\frac\alpha2=12^\circ$, $\alpha=24^\circ$.

Тогда $\angle B=180^\circ-24^\circ-24^\circ=132^\circ$.

Ответ: $\angle A=24^\circ,\ \angle B=132^\circ,\ \angle C=24^\circ$.