5. Найдите угол между прямыми y = x и y = -x + 1.

Решение:

1. Найдем угловые коэффициенты данных прямых.
• Для прямой \( y = x \), угловой коэффициент \( k_1 = 1 \).
• Для прямой \( y = -x + 1 \), угловой коэффициент \( k_2 = -1 \).
2. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс: \( k = \tan(α) \).
3. Для первой прямой: \( \tan(α_1) = 1 \). Следовательно, \( α_1 = 45^\circ \).
4. Для второй прямой: \( \tan(α_2) = -1 \). Следовательно, \( α_2 = 135^\circ \).
5. Угол между двумя прямыми можно найти по формуле: \( \tan(θ) = || \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} || \)
6. Подставим значения угловых коэффициентов:
• \( \tan(θ) = || \frac{1 - (-1)}{1 + 1 \times (-1)} || \)
• \( \tan(θ) = || \frac{1 + 1}{1 - 1} || \)
• \( \tan(θ) = || \frac{2}{0} || \)
7. Так как знаменатель равен нулю, это означает, что прямые перпендикулярны, и угол между ними равен \( 90^\circ \).
8. Альтернативно, можно заметить, что \( k_1 \times k_2 = 1 \times (-1) = -1 \), что является условием перпендикулярности двух прямых.

Ответ: угол между прямыми равен 90°.