5. Найдите вероятность 3 попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле 0,6.

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли, так как у нас есть фиксированное число испытаний (выстрелов), каждое испытание имеет только два исхода (попадание или промах), вероятность успеха постоянна, и испытания независимы.

Формула Бернулли: \( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где:

• \( n \) — число испытаний (выстрелов);
• \( k \) — число успехов (попаданий);
• \( p \) — вероятность успеха (попадания);
• \( q \) — вероятность неудачи (промаха, \( q = 1 - p \));
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), вычисляется как \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В данном случае:

• \( n = 5 \) (5 выстрелов)
• \( k = 3 \) (3 попадания)
• \( p = 0.6 \) (вероятность попадания)
• \( q = 1 - 0.6 = 0.4 \) (вероятность промаха)

Вычислим число сочетаний \( C_5^3 \):

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

\[ P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{5-3} \]

\[ P_5(3) = 10 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^2 \]

\[ P_5(3) = 10 \cdot (0.216) \cdot (0.16) \]

\[ P_5(3) = 10 \cdot 0.03456 \]

\[ P_5(3) = 0.3456 \]

Ответ: 0.3456.