5. Найдите значение произведения: 29 · 31 = (30 - 1)(30 + 1) = 900 - 1 = 899 a) 68 · 72 = б) 7,1 · 6,9 = в) 4,8 · 5,2 = г) 10\( \frac{1}{4} \) · 9\( \frac{3}{4} \) =

Решение:

Будем использовать приём представления множителей в виде суммы или разности чисел, чтобы применить формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) или представить как \( a · b = (a+b)/2 · (a+b)/2 · 2 \) или \( a · b = \left( \frac{a+b}{2} \right)^2 - \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 \).

а) \( 68 · 72 \)

Заметим, что \( 68 = 70 - 2 \) и \( 72 = 70 + 2 \). Применим формулу разности квадратов:

\( 68 · 72 = (70-2)(70+2) = 70^2 - 2^2 = 4900 - 4 = 4896 \)

б) \( 7,1 · 6,9 \)

Заметим, что \( 7,1 = 7 + 0,1 \) и \( 6,9 = 7 - 0,1 \). Применим формулу разности квадратов:

\( 7,1 · 6,9 = (7+0,1)(7-0,1) = 7^2 - 0,1^2 = 49 - 0,01 = 48,99 \)

в) \( 4,8 · 5,2 \)

Заметим, что \( 4,8 = 5 - 0,2 \) и \( 5,2 = 5 + 0,2 \). Применим формулу разности квадратов:

\( 4,8 · 5,2 = (5-0,2)(5+0,2) = 5^2 - 0,2^2 = 25 - 0,04 = 24,96 \)

г) \( 10\frac{1}{4} · 9\frac{3}{4} \)

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\( 10\frac{1}{4} = \frac{10 · 4 + 1}{4} = \frac{41}{4} \)

\( 9\frac{3}{4} = \frac{9 · 4 + 3}{4} = \frac{39}{4} \)

Теперь мы имеем:

\( \frac{41}{4} · \frac{39}{4} \)

Заметим, что \( \frac{41}{4} = \frac{40}{4} + \frac{1}{4} = 10 + \frac{1}{4} \) и \( \frac{39}{4} = \frac{40}{4} - \frac{1}{4} = 10 - \frac{1}{4} \). Применим формулу разности квадратов:

\( \left(10 + \frac{1}{4}\right) \left(10 - \frac{1}{4}\right) = 10^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 100 - \frac{1}{16} = \frac{1600 - 1}{16} = \frac{1599}{16} \)

Переведём в смешанное число:

\( \frac{1599}{16} = 99 \frac{15}{16} \)

Ответ: а) 4896; б) 48,99; в) 24,96; г) \( 99\frac{15}{16} \).