6. Упростите выражение: a) (a + 4)(4-a) + a(a – 8) = б) b (b+8) - (b − 3) (3 + b) = в) (6m + n) (п – 6m) + 3m (m-n) = г) -5р (5р – n) + (5p – n) (n + 5p) =

Решение:

а) \( (a + 4)(4-a) + a(a – 8) \)

Сначала упростим первый множитель, изменив порядок слагаемых:

\( (a+4)(4-a) = (4+a)(4-a) = 4^2 - a^2 = 16 - a^2 \)

Теперь раскроем скобки и сложим:

\( 16 - a^2 + a(a-8) = 16 - a^2 + a^2 - 8a = 16 - 8a \)

б) \( b (b+8) - (b − 3) (3 + b) \)

Раскроем первые скобки:

\( b(b+8) = b^2 + 8b \)

Раскроем вторые скобки, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \), где \( a=b \) и \( b=3 \), поэтому \( (b-3)(b+3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9 \).

Теперь вычтем:

\( (b^2 + 8b) - (b^2 - 9) = b^2 + 8b - b^2 + 9 = 8b + 9 \)

в) \( (6m + n) (п – 6m) + 3m (m-n) \)

Изменим порядок слагаемых во второй скобке первого множителя:

\( (6m+n)(n-6m) = (n+6m)(n-6m) \)

Применим формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), где \( a=n \) и \( b=6m \):

\( (n+6m)(n-6m) = n^2 - (6m)^2 = n^2 - 36m^2 \)

Раскроем скобки во втором слагаемом:

\( 3m(m-n) = 3m^2 - 3mn \)

Теперь сложим:

\( n^2 - 36m^2 + 3m^2 - 3mn = n^2 - 33m^2 - 3mn \)

г) \( -5р (5р – n) + (5p – n) (n + 5p) \)

Раскроем первые скобки:

\( -5p(5p-n) = -25p^2 + 5pn \)

Преобразуем второй множитель:

\( (5p-n)(n+5p) = (5p-n)(5p+n) \)

Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \), где \( a=5p \) и \( b=n \):

\( (5p-n)(5p+n) = (5p)^2 - n^2 = 25p^2 - n^2 \)

Теперь сложим результаты:

\( (-25p^2 + 5pn) + (25p^2 - n^2) = -25p^2 + 5pn + 25p^2 - n^2 = 5pn - n^2 \)

Ответ: а) \( 16 - 8a \); б) \( 8b + 9 \); в) \( n^2 - 33m^2 - 3mn \); г) \( 5pn - n^2 \).