5. Найдите значение производной функции \( f(x) = \operatorname{tg} x - 2 \sin x \) при \( x = \frac{\pi}{4} \).

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = \operatorname{tg} x - 2 \sin x \).
2. Производная \( \operatorname{tg} x \) равна \( \frac{1}{\cos^2 x} \).
3. Производная \( -2 \sin x \) равна \( -2 \cos x \).
4. Таким образом, производная функции \( f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 2 \cos x \).
5. Теперь найдем значение производной при \( x = \frac{\pi}{4} \).
6. \( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
7. \( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
8. Подставим значения в \( f'(x) \):
• \( f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 - \sqrt{2} \)

Ответ: \( 2 - \sqrt{2} \).