Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Найдите значение выражения \( \frac{6^2(k-1)^2}{(k+1)^2} \cdot \frac{k^2-12}{k^2+12} \) при \( k = -\sqrt{5} \) и \( l =…Фото задания

Ответ:

Решение:

В условии задачи указаны переменные \( k \) и \( l \), но в выражении присутствует только \( k \). Предполагается, что \( l \) не используется.

  1. Подставим значение \( k = -\sqrt{5} \) в выражение.
  2. Сначала вычислим \( k^2 \): \( k^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5 \).
  3. Затем вычислим \( k-1 \) и \( k+1 \):
    • \( k-1 = -\sqrt{5} - 1 \)
    • \( k+1 = -\sqrt{5} + 1 \)
  4. Вычислим \( (k-1)^2 \) и \( (k+1)^2 \):
    • \( (k-1)^2 = (-\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5} \)
    • \( (k+1)^2 = (-\sqrt{5} + 1)^2 = (1 - \sqrt{5})^2 = 1^2 - 2\cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5} \)
  5. Подставим \( k^2 \) в числитель и знаменатель дробей:
    • \( 6^2(k-1)^2 = 36(6 + 2\sqrt{5}) \)
    • \( (k+1)^2 = 6 - 2\sqrt{5} \)
    • \( k^2 - 12 = 5 - 12 = -7 \)
    • \( k^2 + 12 = 5 + 12 = 17 \)
  6. Теперь подставим все части в исходное выражение:
    • \( \frac{36(6 + 2\sqrt{5})}{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \frac{-7}{17} \)
  7. Упростим первую дробь, вынеся \( 2 \) из числителя и знаменателя:
    • \( \frac{36 \cdot 2(3 + \sqrt{5})}{2(3 - \sqrt{5})} = \frac{36(3 + \sqrt{5})}{3 - \sqrt{5}} \)
  8. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 3 + \sqrt{5} \):
    • \( \frac{36(3 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{36(3 + \sqrt{5})^2}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{36(9 + 6\sqrt{5} + 5)}{9 - 5} = \frac{36(14 + 6\sqrt{5})}{4} \)
    • \( = 9(14 + 6\sqrt{5}) = 126 + 54\sqrt{5} \)
  9. Теперь умножим полученное значение на \( \frac{-7}{17} \):
    • \( (126 + 54\sqrt{5}) \cdot \frac{-7}{17} = \frac{-7(126 + 54\sqrt{5})}{17} = \frac{-882 - 378\sqrt{5}}{17} \)

Ответ: \( \frac{-882 - 378\sqrt{5}}{17} \).