5. Небольшое тело массой m = 1,1 кг висит на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 45 см, касаясь бруска массой М = 2,2 кг, покоящегося на шероховатой горизонтальной поверхности. Тело отвели в сторону так, что нить образовала угол α = 60° с вертикалью (см. рис.), и отпустили. На какое расстояние s сместится брусок в результате абсолютно упругого удара, если коэффициент трения скольжения между брус ком и поверхностью μ = 0,40?

Решение:

Эта задача решается в два этапа: сначала находим скорость тела после падения, затем анализируем абсолютно упругий удар и движение бруска под действием силы трения.

1. Находим скорость тела (m) после падения:
   Используем закон сохранения энергии. Высота, на которую поднимется центр масс тела, равна h = l - l*cos(α) = l(1 - cos(α)). Начальная энергия — потенциальная, конечная — кинетическая.
   
   • m*g*h = (m*v₁²)/2
   • g*l*(1 - cos(α)) = v₁²/2
   • v₁² = 2*g*l*(1 - cos(α))
   • v₁ = √(2*g*l*(1 - cos(α)))
2. Абсолютно упругий удар:
   При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
   
   • Импульс: m*v₁ = m*v₁' + M*V₁
   • Кинетическая энергия: (m*v₁²)/2 = (m*v₁'²)/2 + (M*V₁²)/2

   Так как тела абсолютно упруго взаимодействуют, то после удара скорости тел меняются местами (при условии, что масса одного из тел равна нулю, но это не так), поэтому для случая, когда одно тело покоится, формула скорости второго тела после удара:

   • V₁ = (2*m*v₁) / (m + M)
3. Находим расстояние смещения бруска (M):
   После удара брусок начнет двигаться под действием силы трения. Он остановится, когда вся его кинетическая энергия перейдет в работу силы трения.
   
   • Сила трения: F_тр = μ * N, где N — сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности N = M*g.
     F_тр = μ * M * g
4. Работа силы трения:
   • A_тр = F_тр * s = μ * M * g * s
5. Закон сохранения энергии для бруска после удара:
   • Кинетическая энергия бруска равна работе силы трения: (M*V₁²)/2 = A_тр = μ * M * g * s
6. Выразим расстояние (s):
   • (M*V₁²)/2 = μ * M * g * s
   • V₁²/2 = μ * g * s
   • s = V₁² / (2 * μ * g)
7. Подставим значения и рассчитаем:
   Предварительно переведем длину нити в метры: l = 45 см = 0,45 м. Примем g ≈ 9,8 м/с².
   
   • Найдем v₁²:
     v₁² = 2 * 9,8 м/с² * 0,45 м * (1 - cos(60°))
     v₁² = 2 * 9,8 * 0,45 * (1 - 0,5)
     v₁² = 2 * 9,8 * 0,45 * 0,5 = 4,41 (м/с)²
   • Найдем V₁:
     V₁ = (2 * 1,1 кг * √4,41 м²/с²) / (1,1 кг + 2,2 кг)
     V₁ = (2 * 1,1 * 2,1) / 3,3
     V₁ = 4,62 / 3,3 ≈ 1,4 м/с
   • Найдем s:
     s = (1,4 м/с)² / (2 * 0,40 * 9,8 м/с²)
     s = 1,96 / 7,84 ≈ 0,25 м

Ответ: 0,25 м