5. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15,6 см. Найдите длину гипотенузы

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90° \). Один из острых углов равен 30°, например \( \angle A = 30° \). Тогда \( \angle B = 90° - 30° = 60° \). В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, в два раза меньший гипотенузы. Меньший катет — это катет, лежащий против меньшего угла. В данном случае меньший угол — \( \angle A = 30° \), значит, меньший катет — это BC.

Обозначим гипотенузу AB как \( c \), а катет BC как \( a \). Тогда \( a = \frac{1}{2} c \).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 15,6 см:

\( c + a = 15.6 \)

Подставим \( a = \frac{1}{2} c \) в уравнение:

\( c + \frac{1}{2} c = 15.6 \)

\( \frac{3}{2} c = 15.6 \)

\( c = 15.6 \cdot \frac{2}{3} \)

\( c = \frac{31.2}{3} \)

\( c = 10.4 \) см.

Ответ: 10.4 см.