5. Окружность проходит через вершины А и В прямоугольника ABCD, и пересекает его стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Из точки С проведена касательная к окружности СР. Найдите СР, если АВ = 6, ВС=9, а радиус окружности равен 5.

Так как окружность проходит через A и B, и пересекает BC в K и AD в M, то ABKM - вписанная трапеция или прямоугольник. AB = 6. Радиус = 5, значит диаметр = 10. Так как ABKM вписана, то AB || MK. Так как ABCD прямоугольник, то AD || BC. Следовательно, ABKM - прямоугольник. AB = MK = 6. BC = AD = 9. Так как ABKM прямоугольник, то BK = AM. Так как окружность проходит через A, B, K, M, то ABKM - вписанный прямоугольник. Диаметр окружности равен диагонали прямоугольника ABKM. Диагональ ABKM = sqrt(AB^2 + BK^2) = sqrt(6^2 + BK^2). Диаметр = 10. 100 = 36 + BK^2. BK^2 = 64. BK = 8. Но BK <= BC = 9. Это возможно. Тогда AM = 8. MD = AD - AM = 9 - 8 = 1. По свойству касательной и секущей из точки C: CP^2 = CK * CB. CK = BC - BK = 9 - 8 = 1. CP^2 = 1 * 9 = 9. CP = 3. Ответ: 3.