№5. Окружность вписана в прямоугольный треугольник ДАВС. Периметр треугольника равен 26 см. Найдите радиус окружности.

1. В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90°, радиус вписанной окружности r = (a + b - c) / 2, где a и b - катеты, c - гипотенуза.

2. Периметр P = a + b + c = 26 см.

3. Из формулы радиуса: 2r = a + b - c. Сложим периметр и удвоенный радиус: P + 2r = (a + b + c) + (a + b - c) = 2(a + b).

4. Вычтем из периметра удвоенный радиус: P - 2r = (a + b + c) - (a + b - c) = 2c.

5. Из рисунка видно, что катеты равны 4 и 7. Проверим, является ли треугольник прямоугольным: 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65. Гипотенуза c = sqrt(65). Периметр P = 4 + 7 + sqrt(65) = 11 + sqrt(65) ≈ 11 + 8.06 = 19.06 см. Это не соответствует условию P=26 см.

6. Используем формулу для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: r = (a + b - c) / 2. Также P = a + b + c = 26. Из рисунка катеты равны 4 и 7. Это неверно, так как рисунок не соответствует условию.

7. Пусть катеты равны a и b, гипотенуза c. P = a + b + c = 26. r = (a + b - c) / 2. Из рисунка видно, что отрезки касательных от вершины C равны r. От вершины A равны 7. От вершины B равны 4. Значит, катеты a = 4 + r, b = 7 + r. Гипотенуза c = 7 + 4 = 11. Подставим в формулу периметра: (4 + r) + (7 + r) + 11 = 26. 22 + 2r = 26. 2r = 4. r = 2 см.