5. Окружность, вписанная в треугольник АВС (см. рис. 175), делит сторону АВ в точке М на два отрезка: АМ = 6 см и ВМ = 4 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АС = 8 см.

Задание 5. Вписанная окружность

Дано:

• Окружность вписана в треугольник ABC.
• Точка касания на стороне AB — M.
• AM = 6 см.
• BM = 4 см.
• AC = 8 см.

Найти: периметр треугольника ABC.

Решение:

Свойства отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности:

• Из вершины A касательные AM и AK (где K — точка касания на AC) равны: AM = AK = 6 см.
• Из вершины B касательные BM и BP (где P — точка касания на BC) равны: BM = BP = 4 см.

По условию, AC = 8 см.

Отрезок AC состоит из отрезков AK и KC:

\( AC = AK + KC \)

Так как AK = 6 см, то:

\[ 8 = 6 + KC \]

\[ KC = 8 - 6 = 2 \] см.

По свойству касательных, отрезки KC и PC равны (где P — точка касания на BC):

\( KC = PC = 2 \) см.

Теперь найдем длину стороны BC. Она состоит из отрезков BP и PC:

\( BC = BP + PC \)

У нас есть:

• BP = 4 см.
• PC = 2 см.

\[ BC = 4 + 2 = 6 \] см.

Найдем периметр треугольника ABC. Он равен сумме длин всех его сторон:

\[ P_{ABC} = AB + BC + AC \]

У нас есть:

• AB = AM + MB = 6 + 4 = 10 см.
• BC = 6 см.
• AC = 8 см.

\[ P_{ABC} = 10 + 6 + 8 = 24 \] см.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен 24 см.