5. Определите число решений системы уравнений { y = ⁴√x; 3x + 5y = 8 }. Найдите координаты решения.

Подставим \(y=\sqrt[4]{x}\) во второе уравнение. Поскольку \(y\ge0\) и \(x=y^4\), получаем \(3y^4+5y=8\).

Функция \(3y^4+5y\) строго возрастает при \(y\ge0\), так как оба слагаемых возрастают. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. При \(y=1\): \(3+5=8\), поэтому это решение. Тогда \(x=1^4=1\).

Ответ: одно решение, \((x;y)=(1;1)\).