5. Осевое сечение конуса - правильный треугольник, периметр которого 36 см. Найдите объем конуса.

1. Периметр правильного треугольника: $$P = 3a$$. Сторона треугольника равна образующей конуса, $$l=a$$. Высота конуса $$h$$, радиус основания $$r$$.

2. Находим сторону треугольника: $$36 = 3a \implies a = 12$$ см. Значит, $$l = 12$$ см.

3. В осевом сечении треугольник равносторонний, поэтому высота треугольника (и конуса) $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ см. Радиус основания $$r = a/2 = 12/2 = 6$$ см.

4. Объем конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6)^2 (6\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi \times 36 \times 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\pi$$ см³.