5. Отметьте на координатной плоскости точки А(-4; 0), B (2; 6), C (-4; 3), D(4; -1). Проведите луч AB и отрезок CD. Найдите координаты пересечения луча AB и отрезка CD.

Решение:

Построим координатную плоскость и отметим заданные точки:

A(-4; 0), B (2; 6), C (-4; 3), D(4; -1).

1. Проведем луч AB: Луч начинается в точке A и проходит через точку B.

2. Проведем отрезок CD: Отрезок соединяет точки C и D.

3. Найдем координаты пересечения:

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точки A(-4; 0):

\[ 0 = k(-4) + b \]

\[ -4k + b = 0 \quad (1) \]

Подставим координаты точки B(2; 6):

\[ 6 = k(2) + b \]

\[ 2k + b = 6 \quad (2) \]

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\[ (2k + b) - (-4k + b) = 6 - 0 \]

\[ 2k + b + 4k - b = 6 \]

\[ 6k = 6 \]

\[ k = 1 \]

Подставим \( k=1 \) в уравнение (1):

\[ -4(1) + b = 0 \]

\[ -4 + b = 0 \]

\[ b = 4 \]

Уравнение прямой AB: \( y = x + 4 \).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки C и D. Уравнение прямой имеет вид \( y = mx + c \).

Подставим координаты точки C(-4; 3):

\[ 3 = m(-4) + c \]

\[ -4m + c = 3 \quad (3) \]

Подставим координаты точки D(4; -1):

\[ -1 = m(4) + c \]

\[ 4m + c = -1 \quad (4) \]

Вычтем уравнение (3) из уравнения (4):

\[ (4m + c) - (-4m + c) = -1 - 3 \]

\[ 4m + c + 4m - c = -4 \]

\[ 8m = -4 \]

\[ m = -\frac{4}{8} = -0.5 \]

Подставим \( m=-0.5 \) в уравнение (4):

\[ 4(-0.5) + c = -1 \]

\[ -2 + c = -1 \]

\[ c = -1 + 2 \]

\[ c = 1 \]

Уравнение прямой CD: \( y = -0.5x + 1 \).

Найдем точку пересечения прямых, приравняв их уравнения:

\[ x + 4 = -0.5x + 1 \]

\[ x + 0.5x = 1 - 4 \]

\[ 1.5x = -3 \]

\[ x = \frac{-3}{1.5} = -2 \]

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = -2 \) в уравнение прямой AB:

\[ y = x + 4 = -2 + 4 = 2 \]

Получили точку пересечения \( (-2; 2) \).

Нам нужно проверить, лежит ли эта точка на луче AB и на отрезке CD.

Для луча AB, начинающегося в A(-4; 0) и проходящего через B(2; 6): x-координата точки пересечения \( -2 \) находится между x-координатами A (-4) и B (2). y-координата \( 2 \) находится между y-координатами A (0) и B (6). Значит, точка пересечения лежит на луче AB.

Для отрезка CD, соединяющего C(-4; 3) и D(4; -1): x-координата точки пересечения \( -2 \) находится между x-координатами C (-4) и D (4). y-координата \( 2 \) находится между y-координатами C (3) и D (-1).

Таким образом, точка пересечения \( (-2; 2) \) лежит и на луче AB, и на отрезке CD.

Ответ: Координаты пересечения луча AB и отрезка CD равны \((-2; 2)\).