5. Отметьте на координатной плоскости точки А(-4; 0), В (2; 6), C (-4; 3), D(4; -1). Проведите луч АВ и отрезок CD. Найдите координаты пересечения луча АВ и отрезка CD.

Решение:

Сначала построим координатную плоскость и отметим заданные точки:

\( A(-4; 0) \)

\( B(2; 6) \)

\( C(-4; 3) \)

\( D(4; -1) \)

Теперь проведём луч АВ, который начинается в точке А и проходит через точку В.

Затем проведём отрезок CD, соединяющий точки C и D.

Чтобы найти координаты точки пересечения, найдём уравнения прямой, проходящей через точки А и В, и прямой, проходящей через точки C и D.

1. Уравнение прямой АВ:

Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{6 - 0}{2 - (-4)} = \frac{6}{6} = 1 \)

Уравнение прямой \( y - y_A = k_{AB}(x - x_A) \)

\( y - 0 = 1(x - (-4)) \)

\( y = x + 4 \)

2. Уравнение прямой CD:

Угловой коэффициент \( k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-1 - 3}{4 - (-4)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \)

Уравнение прямой \( y - y_C = k_{CD}(x - x_C) \)

\( y - 3 = -\frac{1}{2}(x - (-4)) \)

\( y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 4) \)

\( y - 3 = -\frac{1}{2}x - 2 \)

\( y = -\frac{1}{2}x + 1 \)

3. Найдём точку пересечения прямых:

Приравняем уравнения прямых:

\( x + 4 = -\frac{1}{2}x + 1 \)

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( 2(x + 4) = 2(-\frac{1}{2}x + 1) \)

\( 2x + 8 = -x + 2 \)

\( 2x + x = 2 - 8 \)

\( 3x = -6 \)

\( x = -2 \)

Теперь найдём \(y\), подставив \(x = -2\) в уравнение прямой АВ (или CD):

\( y = x + 4 = -2 + 4 = 2 \)

Итак, точка пересечения прямых имеет координаты \( (-2; 2) \).

4. Проверка, принадлежит ли точка пересечения отрезку CD и лучу АВ:

Луч АВ: Луч АВ начинается в точке А(-4; 0) и идет в сторону точки В(2; 6). Координата \(x\) точки пересечения (-2) находится между координатами \(x\) точек А (-4) и В (2). Координата \(y\) точки пересечения (2) также находится между \(y\) точек А (0) и В (6). Следовательно, точка \( (-2; 2) \) принадлежит лучу АВ.

Отрезок CD: Отрезок CD соединяет точки C(-4; 3) и D(4; -1). Координата \(x\) точки пересечения (-2) находится между координатами \(x\) точек C (-4) и D (4). Координата \(y\) точки пересечения (2) находится между \(y\) точек C (3) и D (-1). Следовательно, точка \( (-2; 2) \) принадлежит отрезку CD.

Ответ: Координаты пересечения луча АВ и отрезка CD равны (-2; 2).