5. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Пусть угол A = 30°, тогда угол B = 60°.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC$$.

Из тригонометрических соотношений:

\( \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC} \implies \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{BC}{AC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{AC} \implies AC = BC \sqrt{3} \)

Подставим это в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \times (BC \sqrt{3}) \times BC = \frac{BC^2 \sqrt{3}}{2} \]

Нам дана площадь $$S = 32\sqrt{3}$$. Приравниваем:

\[ \frac{BC^2 \sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \]

Сокращаем \(\sqrt{3}\) и умножаем на 2:

\[ BC^2 = 32 \times 2 = 64 \]

\[ BC = \sqrt{64} = 8 \]

Теперь найдем AC:

\[ AC = BC \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \]

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = (8\sqrt{3})^2 + 8^2 = (64 \times 3) + 64 = 192 + 64 = 256 \]

\[ AB = \sqrt{256} = 16 \]

Ответ: 16