5. По рис. 55 найдите угол x, если угол AOD — тупой. На рисунке диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в O и делятся пополам; ∠OAD = 45°, OD = √8, AD = √12.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому BO = OD. Также BC ∥ AD, следовательно, угол x равен углу между AD и DO, то есть ∠ADO.

В треугольнике AOD по теореме косинусов:

AO² = AD² + OD² − 2 · AD · OD · cos 45° = 12 + 8 − 2√12 · √8 · cos 45° = 20 − 8√3.

Для угла ADO снова применим теорему косинусов:

cos ∠ADO = (AD² + OD² − AO²) / (2 · AD · OD) = 8√3 / (2√12 · √8) = 1/√2.

Значит, ∠ADO = 45°, и потому x = 45°.

Ответ: 45°.