5. Подберите, если возможно, такое значение m, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений: 1) {y=5x-7; y=mx+3;} 2) {y=0,5x+m; 4y=6x-5;} 3) {mx-3y=6; 2x-y=2;}

5. Подбор значения m для систем уравнений:

1) Система:

• \[ \begin{cases} y = 5x - 7 \\ y = mx + 3 \end{cases} \]

Анализ: Для того чтобы система имела:

• единственное решение, угловые коэффициенты прямых должны быть разными: $$m
  e 5$$.
• не имела решений, прямые должны быть параллельны и не совпадать: $$m = 5$$ и $$-7
  e 3$$. Это условие выполняется, если $$m=5$$.
• бесконечное множество решений, прямые должны совпадать, что невозможно, так как свободные члены (-7 и 3) разные.

Ответ:

• Единственное решение: $$m
  e 5$$.
• Нет решений: $$m = 5$$.
• Бесконечное множество решений: таких значений m нет.

2) Система:

• \[ \begin{cases} y = 0,5x + m \\ 4y = 6x - 5 \end{cases} \]

Решение: Преобразуем второе уравнение: $$y = \frac{6x - 5}{4} ightarrow y = 1,5x - 1,25$$. Теперь система имеет вид:

• \[ \begin{cases} y = 0,5x + m \\ y = 1,5x - 1,25 \end{cases} \]

Анализ:

• единственное решение, угловые коэффициенты разные: $$0,5
  e 1,5$$. Это условие всегда выполняется.
• не имела решений, прямые параллельны и не совпадают: $$0,5 = 1,5$$ (неверно).
• бесконечное множество решений, прямые совпадают: $$0,5 = 1,5$$ (неверно).

Ответ:

• Единственное решение: m может быть любым числом, так как $$0,5
  e 1,5$$.
• Нет решений: таких значений m нет.
• Бесконечное множество решений: таких значений m нет.

3) Система:

• \[ \begin{cases} mx - 3y = 6 \\ 2x - y = 2 \end{cases} \]

Решение: Преобразуем второе уравнение: $$y = 2x - 2$$. Теперь система имеет вид:

• \[ \begin{cases} mx - 3y = 6 \\ y = 2x - 2 \end{cases} \]

Подставим $$y$$ из второго уравнения в первое:

• $$mx - 3(2x - 2) = 6$$
• $$mx - 6x + 6 = 6$$
• $$x(m - 6) = 0$$

Анализ:

• единственное решение, когда $$m - 6
  e 0$$, то есть $$m
  e 6$$. В этом случае $$x=0$$. Подставляем $$x=0$$ во второе уравнение: $$y = 2(0) - 2 = -2$$. Решение: (0; -2).
• не имела решений, если $$m - 6 = 0$$ (т.е. $$m = 6$$), но при этом $$0 e 0$$. В данном случае, при $$m=6$$, получаем $$0=0$$, что означает, что прямые совпадают.
• бесконечное множество решений, когда $$m = 6$$ и $$0=0$$.

Ответ:

• Единственное решение: $$m
  e 6$$.
• Нет решений: таких значений m нет.
• Бесконечное множество решений: $$m = 6$$.