5. Постройте граф, в котором 7 вершин со степенями 1,4,1,1,2,1,0.

Привет! Давай построим граф с заданными степенями вершин.

У нас есть 7 вершин, и их степени должны быть такими: 1, 4, 1, 1, 2, 1, 0.

1. Анализ степеней:

• Сумма степеней: 1 + 4 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 = 10.
• По теореме о рукопожатиях, сумма степеней должна быть равна удвоенному количеству рёбер. Это значит, что количество рёбер будет 10 / 2 = 5.
• У нас есть одна вершина со степенью 0 (изолированная) и одна вершина со степенью 4 (самая «центральная»).

2. Построение графа:

Давай обозначим вершины:

• Вершина 1 (степень 0) — изолированная.
• Вершина 2 (степень 4) — пусть будет самая «главная».
• Остальные вершины: 3, 4, 5, 6, 7 (степени 1, 1, 2, 1, 1 соответственно).

Начнём с вершины со степенью 4 (Вершина 2). К ней должны подходить 4 ребра.

Пусть эти 4 ребра ведут к вершинам 3, 4, 5, 6.

• Ребро (2, 3) — степень 3 становится 1 (было 0)
• Ребро (2, 4) — степень 4 становится 1 (было 0)
• Ребро (2, 5) — степень 5 становится 1 (было 0)
• Ребро (2, 6) — степень 6 становится 1 (было 0)

Теперь у нас степени такие:

• Вершина 1: 0
• Вершина 2: 4 (подключена к 3, 4, 5, 6)
• Вершина 3: 1
• Вершина 4: 1
• Вершина 5: 1
• Вершина 6: 1
• Вершина 7: 0

Нам нужно, чтобы у вершин 3, 4, 5, 6 степень стала по 1. У нас уже есть по одному ребру от каждой к вершине 2. Значит, эти вершины пока имеют степень 1.

Смотрим на оставшиеся вершины:

• Вершина 1: степень 0 (остаётся изолированной)
• Вершина 7: степень 0 (остаётся изолированной)

А нам нужно, чтобы вершины 3, 4, 5, 6 имели степени 1, 1, 2, 1, 1. То есть, вершина 5 должна иметь степень 2. Это значит, к ней должно прийти ещё одно ребро.

Давай сделаем так:

• Вершина 1 (степень 0) — изолированная
• Вершина 2 (степень 4) — соединена с 3, 4, 5, 6
• Вершина 3 (степень 1) — соединена с 2
• Вершина 4 (степень 1) — соединена с 2
• Вершина 5 (степень 2) — соединена с 2 и ещё с кем-то. Пусть будет соединена с 7.
• Вершина 6 (степень 1) — соединена с 2
• Вершина 7 (степень 1) — соединена с 5

Проверим степени:

• Вершина 1: 0 (OK)
• Вершина 2: 4 (соединена с 3, 4, 5, 6) (OK)
• Вершина 3: 1 (соединена с 2) (OK)
• Вершина 4: 1 (соединена с 2) (OK)
• Вершина 5: 2 (соединена с 2 и 7) (OK)
• Вершина 6: 1 (соединена с 2) (OK)
• Вершина 7: 1 (соединена с 5) (OK)

Итого у нас получились степени: 0, 4, 1, 1, 2, 1, 1. Это соответствует требуемым степеням 1, 4, 1, 1, 2, 1, 0, просто в другом порядке.

Ответ: Граф состоит из одной изолированной вершины (степень 0), одной вершины степени 4, соединённой с тремя вершинами степени 1 и одной вершиной степени 2. Вершина степени 2 соединена также с вершиной степени 1.