5. Постройте график функции у=-x²+2x+3 и найдите вершины параболы.

1. Находим вершину параболы

Координата x вершины параболы находится по формуле: xв = -b / (2a)

• В нашей функции y = -x² + 2x + 3:
• a = -1
• b = 2

Подставляем значения:

• \[ x_в = -2 / (2 × (-1)) = -2 / (-2) = 1 \]

Теперь найдем координату y вершины, подставив xв = 1 в уравнение функции:

• \[ y_в = -(1)² + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \]

Вершина параболы находится в точке (1; 4).

2. Построение графика

Для построения графика нам понадобится еще несколько точек:

• Пересечение с осью Y: При x=0, y = -0² + 2(0) + 3 = 3. Точка (0; 3).
• Точки, симметричные точке (0; 3) относительно оси симметрии x=1: (2; 3).
• Точки пересечения с осью X (корни уравнения -x² + 2x + 3 = 0):
• Используем дискриминант: D = b² - 4ac
• \[ D = 2² - 4(-1)(3) = 4 + 12 = 16 \]
• \[ x_{1,2} = (-b ± √ D) / (2a) \]
• \[ x_1 = (-2 + √ 16) / (2 × -1) = (-2 + 4) / -2 = 2 / -2 = -1 \]
• \[ x_2 = (-2 - √ 16) / (2 × -1) = (-2 - 4) / -2 = -6 / -2 = 3 \]
• Точки пересечения с осью X: (-1; 0) и (3; 0).

Ответ: Вершина параболы находится в точке (1; 4). График построен.