5. Постройте и прочитайте график функции $$ y = \begin{cases} \frac{4}{x+1}, & \text{если } -5 \le x \le -2, \\ x^2 - 2, & \text{если } -2 < x < 2, \\ \frac{4}{x-1}, & \text{если } 2 \le x \le 5. \end{cases} $$

Построение графика функции:

График состоит из трех частей, соответствующих заданным условиям на \( x \).

1. \( y = \frac{4}{x+1} \) при \( -5 \le x \le -2 \)

• Это гипербола с вертикальной асимптотой \( x = -1 \) (но она вне нашего интервала) и горизонтальной асимптотой \( y = 0 \).
• Вычислим значения на концах интервала:
  • При \( x = -5 \): \( y = \frac{4}{-5+1} = \frac{4}{-4} = -1 \). Точка \( (-5, -1) \).
  • При \( x = -2 \): \( y = \frac{4}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4 \). Точка \( (-2, -4) \).
• В точке \( x = -1 \) функция не определена, но этот интервал заканчивается на \( -2 \), так что асимптота \( x=-1 \) не влияет на график в заданном промежутке.

2. \( y = x^2 - 2 \) при \( -2 < x < 2 \)

• Это парабола с вершиной в точке \( (0, -2) \) и ветвями, направленными вверх.
• Вычислим значения на границах интервала (они будут «выколотыми»):
  • При \( x \to -2^+ \): \( y = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \). Точка \( (-2, 2) \) (выколотая).
  • При \( x \to 2^- \): \( y = (2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \). Точка \( (2, 2) \) (выколотая).
• Вершина параболы: \( x = 0 \), \( y = 0^2 - 2 = -2 \). Точка \( (0, -2) \).

3. \( y = \frac{4}{x-1} \) при \( 2 \le x \le 5 \)

• Это гипербола с вертикальной асимптотой \( x = 1 \) (вне интервала) и горизонтальной асимптотой \( y = 0 \).
• Вычислим значения на концах интервала:
  • При \( x = 2 \): \( y = \frac{4}{2-1} = \frac{4}{1} = 4 \). Точка \( (2, 4) \).
  • При \( x = 5 \): \( y = \frac{4}{5-1} = \frac{4}{4} = 1 \). Точка \( (5, 1) \).

График:

Прочитав график:

• Функция определена на отрезке \( [-5; 5] \).
• Ветвь гиперболы \( y = \frac{4}{x+1} \) начинается в точке \( (-5, -1) \) и заканчивается в точке \( (-2, -4) \).
• Часть параболы \( y = x^2 - 2 \) идет от выколотой точки \( (-2, 2) \) через вершину \( (0, -2) \) до выколотой точки \( (2, 2) \).
• Ветвь гиперболы \( y = \frac{4}{x-1} \) начинается в точке \( (2, 4) \) и заканчивается в точке \( (5, 1) \).
• Область значений функции: \( [-4; 2) \cup [4; 1] \) - здесь ошибка в понимании областей значений, правильная область значений: \( [-4; -1] \cup [-2; 2) \cup [1; 4] \).
• Наименьшее значение функции равно \( -4 \) (при \( x = -2 \)).
• Наибольшее значение функции равно \( 4 \) (при \( x = 2 \)).
• Функция разрывна в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Ответ: График функции построен. Наименьшее значение функции равно \( -4 \), наибольшее \( 4 \).