5. Постройте треугольник по координатам его вершин: A(−7; 4), B(5; 4), C(−1; 1,5). Какого вида этот треугольник по углам и по сторонам? Построй треугольник, симметричный этому треугольнику относительно оси абсцисс и запиши координаты его вершин.

Решение:

1. Построим треугольник ABC.
• Вершина A: (−7; 4)
• Вершина B: (5; 4)
• Вершина C: (−1; 1.5)
2. Определим вид треугольника:
• Сторона AB параллельна оси абсцисс, так как y-координаты точек A и B равны (4). Длина AB = \( |5 - (-7)| = |5 + 7| = 12 \).
• Найдем длины сторон AC и BC. Используем формулу расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).
• Длина AC = \( \sqrt{(-1 - (-7))^2 + (1.5 - 4)^2} = \sqrt{(-1+7)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{6^2 + 6.25} = \sqrt{36 + 6.25} = \sqrt{42.25} = 6.5 \).
• Длина BC = \( \sqrt{(-1 - 5)^2 + (1.5 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{36 + 6.25} = \sqrt{42.25} = 6.5 \).
• Так как AC = BC, треугольник ABC — равнобедренный.
• Найдем координаты середины отрезка AB (точка M): \( M = (\frac{-7+5}{2}, \frac{4+4}{2}) = (-1, 4) \).
• Отрезок CM является высотой, так как C(−1; 1.5) и M(−1; 4) имеют одинаковую x-координату. CM = \( |4 - 1.5| = 2.5 \).
• Так как высота CM перпендикулярна основанию AB, угол C является тупым или прямым. Но по координатам C ниже, чем AB, поэтому углы при основании острые. Если бы CM было больше половины AB, угол C был бы тупым. Но 2.5 < 6, значит угол C острый.
• Угол C является вершиной равнобедренного треугольника. Так как C (−1; 1.5) ниже, чем A (−7; 4) и B (5; 4), углы A и B будут острыми.

Треугольник ABC — равнобедренный.

Построение симметричного треугольника:

Чтобы построить треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно оси абсцисс, нужно поменять знак y-координаты у каждой вершины.

• Вершина A': (−7; −4)
• Вершина B': (5; −4)
• Вершина C': (−1; −1.5)

Треугольник A'B'C' симметричен треугольнику ABC относительно оси абсцисс.