5. Постройте треугольник по координатам его вершин: A(-7; 4), B(5; 4), C(-1; 1,5). Какого вида этот треугольник по углам и по сторонам? Построй треугольник, симметричный этому треугольнику относительно оси абсцисс и запиши координаты его вершин.

1. Построение треугольника ABC:

• Отметим точки A(-7; 4), B(5; 4), C(-1; 1.5) на координатной плоскости.
• Соединим точки отрезками AB, BC, AC.

2. Определение вида треугольника:

• Определение вида по сторонам:
• Длина стороны AB: Точки A и B имеют одинаковую y-координату (4), значит, сторона AB горизонтальна. Длина AB = |5 - (-7)| = |5 + 7| = 12.
• Длина стороны AC: Используем формулу расстояния между двумя точками:
  \[ AC = \sqrt{(-1 - (-7))^2 + (1.5 - 4)^2} = \sqrt{(-1 + 7)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{6^2 + 6.25} = \sqrt{36 + 6.25} = \sqrt{42.25} = 6.5 \]
• Длина стороны BC: Используем формулу расстояния между двумя точками:
  \[ BC = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (1.5 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2.5)^2} = \sqrt{36 + 6.25} = \sqrt{42.25} = 6.5 \]
• Так как AC = BC, треугольник ABC является равнобедренным.
• Определение вида по углам:
• Так как треугольник равнобедренный, углы при основании AB равны.
• Высота, опущенная из вершины C на основание AB, будет проходить через середину AB. Середина AB имеет координату x = (-7 + 5) / 2 = -1. Это совпадает с x-координатой точки C.
• Угол при вершине C: Для определения угла C, можно использовать теорему косинусов, но так как мы уже знаем, что треугольник равнобедренный, и одна сторона (AB) горизонтальна, а точка C находится ниже неё, то углы при основании будут острыми.
• Так как AB = 12, AC = BC = 6.5, то треугольник не является равносторонним.
• Поскольку у нас две стороны равны, и все стороны различны (12, 6.5, 6.5), то треугольник равнобедренный.
• Чтобы определить углы, можно заметить, что AB параллельна оси x. Высота из C на AB равна 4 - 1.5 = 2.5. Половина основания AB равна 12/2 = 6.
• 
  \[ \tan(\angle CAB) = \frac{2.5}{6} \approx 0.4167 \]
• 
  \[ \angle CAB = \arctan(0.4167) \approx 22.6^{\circ} \]
• 
  \[ \angle CBA = \angle CAB \approx 22.6^{\circ} \]
• 
  \[ \angle ACB = 180^{\circ} - (22.6^{\circ} + 22.6^{\circ}) = 180^{\circ} - 45.2^{\circ} = 134.8^{\circ} \]
• Так как один из углов (угол C) тупой, треугольник является тупоугольным.

3. Построение симметричного треугольника:

• Симметричный треугольник A'B'C' относительно оси абсцисс (оси X) будет иметь координаты, где y-координаты изменят знак на противоположный.
• Координаты вершин симметричного треугольника:
• A'(-7; -4)
• B'(5; -4)
• C'(-1; -1.5)

4. Вид симметричного треугольника:

• Треугольник A'B'C' будет такого же вида, как и исходный треугольник ABC, то есть равнобедренный тупоугольный.

Ответ: Треугольник ABC - равнобедренный тупоугольный. Координаты вершин симметричного треугольника: A'(-7; -4), B'(5; -4), C'(-1; -1.5).