5. Представьте в виде дроби: $\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right):\left(1+\frac{9}{x^3-1}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Представьте в виде дроби: $\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right):\left(1+\frac{9}{x^3-1}\right)$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. В первой скобке приведём дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1-(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{2}{x^3-1}$.

Во второй скобке: $1+\frac{9}{x^3-1}=\frac{x^3+8}{x^3-1}$. Следовательно,

$\frac{2}{x^3-1}:\frac{x^3+8}{x^3-1}=\frac{2}{x^3+8}=\frac{2}{(x+2)(x^2-2x+4)}$.

Ограничения исходного выражения: $x\ne1$ и $x^3+8\ne0$, то есть $x\ne-2$.

Ответ: $\frac{2}{(x+2)(x^2-2x+4)}$, где $x\ne1,-2$.

5. Представьте в виде дроби: \(\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right):\left(1+\frac{9}{x^3-1}\right)\).