5. При каких почтенных значениях \(b\) значение дроби \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\) целое выражение?

В условии неясно слово перед «значениях»; по контексту читается «При каких значениях». Упростим дробь:

\(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\frac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=\frac{b^2+4b+5}{b}=b+4+\frac{5}{b}\), где \(b\ne0\).

При целых значениях \(b\) выражение целое тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{b}\) — целое, то есть \(b\) является целым делителем числа 5.

Ответ: при \(b\in\{-5,-1,1,5\}\), если подразумеваются целые значения \(b\). Без условия, что \(b\) — целое число, ответом является множество всех ненулевых рациональных \(b\), для которых \(b+4+\frac{5}{b}\in\mathbb Z\).