5. При каких целых положительных значениях b выражение ((b − 2)² + 8b + 1)/b является целым числом?

Раскроем скобки и разделим каждое слагаемое числителя на b:

\(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\frac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=b+4+\frac5b\).

Выражение будет целым, если \(\frac5b\) — целое число. Среди положительных целых делителей числа 5 подходят \(b=1\) и \(b=5\).

Ответ: b = 1 и b = 5.