5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения ((b − 2)² + 8b + 1)/b?

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \(b\ne0\). Упростим выражение:

\(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}=\frac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=b+4+\frac{5}{b}\).

При целом \(b\) числа \(b+4\) и \(5/b\) дают целую сумму тогда и только тогда, когда \(5/b\) — целое число. Значит, целое \(b\) должно быть делителем числа 5.

Ответ: \(b=-5,-1,1,5\).