5. Prove that the given equation has integer roots, and find them: $$x^2 = (\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{6}-2\sqrt{5})^2$$ $$x^2 = (\sqrt{7}-2\sqrt{6}-\sqrt{7}+2\sqrt{6})^2$$

5. Доказательство наличия целых корней и их нахождение:

1. $$x^2 = (\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{6}-2\sqrt{5})^2$$

Упростим выражение в скобках:

$$\sqrt{6}+2\sqrt{5}-\sqrt{6}-2\sqrt{5} = (\sqrt{6}-\sqrt{6}) + (2\sqrt{5}-2\sqrt{5}) = 0 + 0 = 0$$.

Теперь подставим это значение в уравнение:

$$x^2 = (0)^2 = 0$$.

Это уравнение имеет один целый корень $$x=0$$.

2. $$x^2 = (\sqrt{7}-2\sqrt{6}-\sqrt{7}+2\sqrt{6})^2$$

Упростим выражение в скобках:

$$\sqrt{7}-2\sqrt{6}-\sqrt{7}+2\sqrt{6} = (\sqrt{7}-\sqrt{7}) + (-2\sqrt{6}+2\sqrt{6}) = 0 + 0 = 0$$.

Теперь подставим это значение в уравнение:

$$x^2 = (0)^2 = 0$$.

Это уравнение также имеет один целый корень $$x=0$$.

Ответ: Оба уравнения имеют целый корень $$x=0$$.