5. Проведите все диагонали в многоугольниках, изображённых на рисунке. Выявите закономерность, заполните таблицу. Обоснуйте выявленную закономерность. Число вершин многоугольника: 3, 4, 5, 6, 7, …, n. Число диагоналей, выходящих из одной вершины; общее число диагоналей.

Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних. Поэтому из одной вершины выходит \(n-3\) диагонали.

Если сложить число диагоналей, выходящих из каждой вершины, каждая диагональ будет учтена дважды — по одному разу для каждого конца. Значит, общее число диагоналей равно \(\frac{n(n-3)}{2}\).

На рисунках нужно соединить все пары несоседних вершин. Для треугольника диагоналей нет; у четырёхугольника диагонали соединяют противоположные вершины; в каждом следующем многоугольнике добавляются диагонали к несоседним вершинам.