5. Прямая, пересекающая диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, пересекает его стороны AB и CD в точках M и K соответственно, причём ME = KE. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники \(BEM\) и \(DEK\). Так как \(AB\parallel CD\), углы \(BME\) и \(DKE\) равны. Углы \(MBE\) и \(KDE\) также равны, поскольку образованы прямыми \(AB\parallel CD\) и \(BD\). Значит, треугольники подобны.

Из подобия следует пропорция \(\frac{BE}{DE}=\frac{ME}{KE}\). По условию \(ME=KE\), поэтому \(BE=DE\). Следовательно, точка \(E\) — середина диагонали \(BD\); по условию она также середина диагонали \(MK\).

В четырёхугольнике \(BKDM\) диагонали \(BD\) и \(KM\) пересекаются и делятся пополам. По признаку параллелограмма \(BKDM\) — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.