№5. Равнобедренный ДАВС с основанием ВС описан около окружности с центром О. Окружность касается основания треугольника в точке Р и боковых сторон в точках К и М. ВК = 6 см, АК = 4 см. Найдите периметр ДАВС.

Решение:

1. Стороны треугольника:

Так как точки касания окружности со сторонами треугольника делят стороны на отрезки, то:

• Боковая сторона AB = AK + KB = 4 см + 6 см = 10 см.
• Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС, то боковая сторона AC = AB = 10 см.
• Точка касания окружности делит основание ВС на два отрезка BP и PC. Так как окружность вписана в равнобедренный треугольник, то точка касания Р является серединой основания ВС.
• Из свойства касательных, проведенных из одной точки, следует, что отрезки касательных от вершины до точки касания равны: AK = AP = 4 см и BK = BP = 6 см.
• Значит, основание BC = BP + PC = 6 см + 6 см = 12 см (поскольку AP = PC, но AP = 4 см, то PC = 4 см. Здесь есть противоречие. Проверим условие: АK = 4 см, BK = 6 см. Тогда AB = 10 см. Если окружность касается АВ в точке К, то AK = 4 см, KB = 6 см. АВ = 10 см. Точка Р - касание с ВС. Если Р - середина ВС, то BP = PC. Отрезки касательных из А равны: AK = AP = 4 см. Отрезки касательных из В равны: BK = BP = 6 см. Тогда BC = BP + PC = 6 + 4 = 10 см. Тогда треугольник равнобедренный, основание ВС = 10 см, боковые стороны AB = AC = 10 см. Периметр = 10+10+10=30 см.

Пересчитаем по условию:

Дано: АВ=10 см (4+6), АС=10 см. Окружность касается основания ВС в точке Р, боковых сторон в точках К (на АВ) и М (на АС). BK=6 см, AK=4 см. AC=10 см. Значит, AM = AK = 4 см. MC = AC - AM = 10 - 4 = 6 см. Так как МС = CP, то CP = 6 см. Значит, BC = BP + PC. Из того, что окружность касается основания ВС в точке Р, и треугольник равнобедренный, Р - середина ВС. Значит BP = PC. Следовательно, BP = 6 см. Тогда BC = BP + PC = 6 + 6 = 12 см.

2. Периметр треугольника:

Периметр треугольника АВС равен сумме длин его сторон:

P = AB + AC + BC = 10 см + 10 см + 12 см = 32 см.

Ответ: Периметр ДАВС равен 32 см.