5. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину D₁ и середины рёбер AD и CD.

Обозначим через P середину AD, а через Q — середину CD. Сечение — четырёхугольник PQC₁D₁.

Введём координаты в единицах длины ребра куба: A(0,0,0), C(1,1,0), D₁(0,1,1). Тогда P(0, 1/2, 0), Q(1/2, 1, 0), и плоскость сечения имеет уравнение y − x − z/2 = 1/2.

Разобьём сечение диагональю PC₁ на два треугольника. В единицах ребра площади этих треугольников равны 3/8 и √5/8. Поэтому площадь четырёхугольника составляет (3 + √5)/8 от площади квадрата со стороной ребра куба.

Площадь грани куба равна 4² = 16, следовательно, площадь сечения равна 16 · (3 + √5)/8 = 6 + 2√5.

Ответ: 6 + 2√5.