1. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 2. Точка E — середина ребра B₁C₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью ABE.

Пусть координаты вершин куба: A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), B₁(2, 0, 2), C₁(2, 2, 2). Тогда E(2, 1, 2).

Плоскость ABE содержит направление AB и векторы, удовлетворяющие соотношению z = 2y. В кубе она высекает прямоугольник со сторонами AB = 2 и BE = √(1² + 2²) = √5.

Площадь сечения: S = 2 · √5 = 2√5.

Ответ: 2√5.