№ 5. Решить логарифмическое уравнение и неравенство: a) \(\log_{0.5}(x+5) = -2\) б) \(\log_4 (x+30) \le 3\)

Решение:

1. \(\log_{0.5}(x+5) = -2\). По определению логарифма: \(x+5 = (0.5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4\). \(x = 4 - 5 = -1\). Проверка: \(x+5 = -1+5 = 4 > 0\), условие выполнено.
2. \(\log_4 (x+30) \le 3\). Так как основание логарифма \(4 > 1\), то \(x+30 \le 4^3\). \(x+30 \le 64\). \(x \le 64 - 30\). \(x \le 34\). Также необходимо учесть ОДЗ: \(x+30 > 0\), откуда \(x > -30\). Объединяя условия, получаем \(-30 < x \le 34\).

Ответ: а) -1; б) \((-30; 34]\).