5. Решить уравнение: 2 · 7^{x-1} + 7^{x+1} = 51

Решение:

Для решения уравнения \( 2 \cdot 7^{x-1} + 7^{x+1} = 51 \) вынесем общий множитель за скобки.

Представим степени через \( 7^x \):

\[ 7^{x-1} = 7^x \cdot 7^{-1} = \frac{7^x}{7} \]\[ 7^{x+1} = 7^x \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^x \]

Подставим это в уравнение:

\[ 2 \cdot \frac{7^x}{7} + 7 \cdot 7^x = 51 \]

Введём замену \( y = 7^x \):

\[ \frac{2}{7} y + 7y = 51 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{2y + 49y}{7} = 51 \]\[ \frac{51y}{7} = 51 \]

Умножим обе части на 7 и разделим на 51:

\[ y = 7 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 7^x \):

\[ 7^x = 7 \]

Так как \( 7 = 7^1 \), то:

\[ 7^x = 7^1 \]\[ x = 1 \]

Ответ: 1.