5. Решить уравнения, a) 2cos²x + cosx - 3 = 0; б) √3cosx + sinx = 0; в) — 3sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 0.

Решим каждое уравнение по порядку:

a) \( 2\cos^2 x + \cos x - 3 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Сделаем замену: \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

• \( 2y^2 + y - 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

• \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \)
• \( \sqrt{D} = 5 \)

Найдем корни \( y \):

• \( y_1 = \frac{-1 + 5}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
• \( y_2 = \frac{-1 - 5}{2 \times 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \)

Теперь вернемся к замене:

• \( \cos x = 1 \)
• \( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
• \( \cos x = -1.5 \)
• Это уравнение не имеет решений, так как \( \cos x \) всегда находится в диапазоне \( [-1, 1] \).

Ответ к а): \( x = 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \)

б) \( \sqrt{3}\cos x + \sin x = 0 \)

Это однородное уравнение. Перенесем \( \cos x \) в правую часть:

• \( \sin x = -\sqrt{3} \cos x \)

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Значит, \( \cos x
eq 0 \).

Разделим обе части на \( \cos x \):

• \( \frac{\sin x}{\cos x} = -\sqrt{3} \)
• \( \operatorname{tg} x = -\sqrt{3} \)

Решение этого уравнения:

• \( x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
• \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Ответ к б): \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \)

в) \( -3\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0 \)

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (предполагая, что \( \cos x
eq 0 \)).

• \( -3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = 0 \)
• \( -3\operatorname{tg}^2 x + 1 + 2\operatorname{tg} x = 0 \)

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения относительно \( \operatorname{tg} x \):

• \( 3\operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x - 1 = 0 \)

Сделаем замену: \( t = \operatorname{tg} x \).

• \( 3t^2 - 2t - 1 = 0 \)

Найдем дискриминант:

• \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 \)
• \( \sqrt{D} = 4 \)

Найдем корни \( t \):

• \( t_1 = \frac{-(-2) + 4}{2 \times 3} = \frac{6}{6} = 1 \)
• \( t_2 = \frac{-(-2) - 4}{2 \times 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

Вернемся к замене:

• \( \operatorname{tg} x = 1 \)
• \( x = \operatorname{arctg}(1) + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \)
• \( x = \frac{\pi}{4} + \pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \)
• \( \operatorname{tg} x = -\frac{1}{3} \)
• \( x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi p \), где \( p \in \mathbb{Z} \)

Теперь проверим, не было ли \( \cos x = 0 \) решением исходного уравнения. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \). Подставим в исходное уравнение: \( -3(\pm 1)^2 + 0^2 + 2(\pm 1)(0) = -3(1) = -3
eq 0 \). Значит, \( \cos x
eq 0 \) было верным предположением.

Ответ к в): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi m \) и \( x = \operatorname{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi p \), где \( m, p \in \mathbb{Z} \)