№5. Решить задачу с помощью системы линейных уравнений. За 9 ручек и 4 карандаша заплатили 485 рублей. Сколько стоит 1 ручка и сколько 1 карандаш, если 2 ручки дороже 3 карандашей на 30 рублей?

Дано:

• 9 ручек и 4 карандаша стоят 485 рублей.
• 2 ручки дороже 3 карандашей на 30 рублей.

Найти:

• Стоимость 1 ручки (x) и 1 карандаша (y).

Решение:

1. Составим систему линейных уравнений:
   Пусть x - цена 1 ручки, а y - цена 1 карандаша.
   Первое условие: 9 ручек и 4 карандаша стоят 485 рублей.
   \[ 9x + 4y = 485 \]Второе условие: 2 ручки дороже 3 карандашей на 30 рублей. Это значит, что цена 2 ручек равна цене 3 карандашей плюс 30 рублей.
   \[ 2x = 3y + 30 \]Перенесем 3y в левую часть, чтобы получить стандартный вид уравнения:
   \[ 2x - 3y = 30 \]
2. Теперь у нас есть система:
   \[ \begin{cases} 9x + 4y = 485 \\ 2x - 3y = 30 \end{cases} \]
3. Решим систему способом подстановки или сложения. Воспользуемся методом умножения уравнений и сложения.
   Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы коэффициенты при y стали противоположными (-12y и +12y):
   1. \[ (9x + 4y) \times 3 = 485 \times 3 \implies 27x + 12y = 1455 \]
   2. \[ (2x - 3y) \times 4 = 30 \times 4 \implies 8x - 12y = 120 \]
4. Сложим полученные уравнения:
   \[ (27x + 12y) + (8x - 12y) = 1455 + 120 \]
   \[ 27x + 8x + 12y - 12y = 1575 \]
   \[ 35x = 1575 \]
5. Найдем стоимость ручки (x):
   \[ x = \frac{1575}{35} \]
   \[ x = 45 \]
6. Найдем стоимость карандаша (y), подставив x=45 в одно из исходных уравнений, например, во второе:
   \[ 2(45) - 3y = 30 \]
   \[ 90 - 3y = 30 \]
   \[ -3y = 30 - 90 \]
   \[ -3y = -60 \]
   \[ y = \frac{-60}{-3} \]
   \[ y = 20 \]

Проверка:

• 9 ручек (9 * 45 = 405) и 4 карандаша (4 * 20 = 80) стоят 405 + 80 = 485 рублей. Верно.
• 2 ручки (2 * 45 = 90) дороже 3 карандашей (3 * 20 = 60) на 90 - 60 = 30 рублей. Верно.

Ответ: 1 ручка стоит 45 рублей, а 1 карандаш стоит 20 рублей.