5. Решите неравенство (3x - 6)(x + 2,5) ≥ 0

Решение:

Для решения неравенства \( (3x - 6)(x + 2,5) \geq 0 \) найдём корни каждого множителя:

1. \( 3x - 6 = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \)
2. \( x + 2,5 = 0 \implies x = -2,5 \)

Теперь определим знаки интервалов на числовой оси. Корни -2,5 и 2 разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -2,5] \), \( [-2,5, 2] \) и \( [2, \infty) \).

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для \( x < -2,5 \), например \( x = -3 \): \( (3(-3) - 6)(-3 + 2,5) = (-9 - 6)(-0,5) = (-15)(-0,5) = 7,5 > 0 \).
• Для \( -2,5 < x < 2 \), например \( x = 0 \): \( (3(0) - 6)(0 + 2,5) = (-6)(2,5) = -15 < 0 \).
• Для \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( (3(3) - 6)(3 + 2,5) = (9 - 6)(5,5) = (3)(5,5) = 16,5 > 0 \).

Так как неравенство \( \geq 0 \), нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Значит, \( x \) принадлежит объединению интервалов \( (-\infty, -2,5] \) и \( [2, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -2,5] \cup [2, \infty) \).